Упр.18.1 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
2. $$\cos\frac{x}{3}=-\frac{1}{2}$$;
3. $$\sin\frac{x}{4}=\frac{1}{2}$$;
4. $$\cos 4x=0$$.

а) $$\sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Так как $$\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4},$$ то

$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Тогда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

б) $$\cos \frac{x}{3}=-\frac{1}{2}$$

Так как $$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3},$$ то

$$\frac{x}{3}=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Умножим на $$3$$:

$$x=\pm 2\pi+6\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

в) $$\sin \frac{x}{4}=\frac{1}{2}$$

Так как $$\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi}{6},$$ то

$$\frac{x}{4}=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Тогда

$$x=(-1)^n\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

г) $$\cos 4x=0$$

Так как $$\arccos 0=\frac{\pi}{2},$$ то

$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z};$$ б) $$x=\pm 2\pi+6\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ в) $$x=(-1)^n\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ г) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb{Z}.$$