Упр.17.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$2\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\arctg(-1)+\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
б) $$3\arcsin\frac{1}{2}+4\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$;
в) $$\arctg(-\sqrt{3})+\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\arcsin 1$$;
г) $$\arcsin(-1)-\frac{3}{2}\arccos\frac{1}{2}+3\operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$.

Подробный ответ

Воспользуемся значениями обратных тригонометрических функций:

$$\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3},\quad \arctg(-1)=-\frac{\pi}{4},\quad \arccos\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4}$$
$$\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6},\quad \arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{3\pi}{4},\quad \arctg\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)=-\frac{\pi}{6}$$
$$\arctg(-\sqrt3)=-\frac{\pi}{3},\quad \arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{5\pi}{6},\quad \arcsin 1=\frac{\pi}{2}$$
$$\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2},\quad \arccos\frac12=\frac{\pi}{3},\quad \arcctg\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)=\frac{2\pi}{3}$$

Ход решения

а)

$$2\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\arctg(-1)+\arccos\frac{\sqrt2}{2}$$
$$=2\left(-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=-\frac{2\pi}{3}$$

б)

$$3\arcsin\frac12+4\arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)-\arctg\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)$$
$$=3\cdot\frac{\pi}{6}+4\cdot\frac{3\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)$$
$$=\frac{\pi}{2}+3\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{3}$$

в)

$$\arctg(-\sqrt3)+\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\arcsin 1$$
$$=-\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{2}=\pi$$

г)

$$\arcsin(-1)-\frac{3}{2}\arccos\frac12+3\arcctg\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)$$
$$=-\frac{\pi}{2}-\frac{3}{2}\cdot\frac{\pi}{3}+3\cdot\frac{2\pi}{3}$$
$$=-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}+2\pi=\pi$$