Упр.17.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите: а) $$\sin\left(\arctg \frac{3}{4}\right)$$; б) $$\cos\left(\arcctg \frac{12}{5}\right)$$; в) $$\sin\left(\arcctg\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$; г) $$\cos\left(\arctg\left(-\frac{5}{12}\right)\right)$$.

Используем определения тригонометрических функций для углов, заданных через арктангенс и арккотангенс.

1. $$\sin\left(\arctg \frac{3}{4}\right)$$

   Пусть $$t=\arctg \frac{3}{4}$$, тогда $$\tg t=\frac{3}{4}$$ и $$t$$ лежит в I или IV четверти, значит $$\cos t>0$$.

   Тогда

   $$\cos t=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2}}=\frac{4}{5}.$$

   Следовательно,

   $$\sin t=\tg t\cdot \cos t=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}=\frac{3}{5}.$$

2. $$\cos\left(\arcctg \frac{12}{5}\right)$$

   Пусть $$t=\arcctg \frac{12}{5}$$, тогда $$\ctg t=\frac{12}{5}$$ и $$t$$ лежит в I или II четверти, значит $$\sin t>0$$.

   Тогда

   $$\sin t=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{12}{5}\right)^2}}=\frac{5}{13}.$$

   Следовательно,

   $$\cos t=\ctg t\cdot \sin t=\frac{12}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{12}{13}.$$

3. $$\sin\left(\arcctg\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

   Пусть $$t=\arcctg\left(-\frac{4}{3}\right)$$, тогда $$\ctg t=-\frac{4}{3}$$. Для арккотангенса $$t\in(0,\pi)$$, значит при отрицательном котангенсе угол лежит во II четверти, и потому $$\sin t>0$$.

   Тогда

   $$\sin t=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(-\frac{4}{3}\right)^2}}=\frac{3}{5}.$$

4. $$\cos\left(\arctg\left(-\frac{5}{12}\right)\right)$$

   Пусть $$t=\arctg\left(-\frac{5}{12}\right)$$, тогда $$\tg t=-\frac{5}{12}$$ и $$t$$ лежит в I или IV четверти, значит $$\cos t>0$$.

   Тогда

   $$\cos t=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(-\frac{5}{12}\right)^2}}=\frac{12}{13}.$$

Ответ: а) $$\frac{3}{5}$$; б) $$\frac{12}{13}$$; в) $$\frac{3}{5}$$; г) $$\frac{12}{13}$$.