Упр.17.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Постройте график функции: а) $$y=\arccos 2x+\arccos(-2x)$$; б) $$y=\arccos\frac{1}{x}+\arccos\left(-\frac{1}{x}\right)$$; в) $$y=\operatorname{arcctg}x+\operatorname{arcctg}(-x)$$; г) $$y=\operatorname{arcctg}\sqrt{x}+\operatorname{arcctg}(-\sqrt{x})$$.

а) Для функции $$y=\arccos 2x+\arccos(-2x)$$ область определения задаётся условиями

$$-1\le 2x\le 1,\qquad -1\le -2x\le 1,$$

то есть $$-\frac12\le x\le \frac12.$$

Так как $$\arccos(-t)=\pi-\arccos t,$$ то

$$y=\arccos 2x+\pi-\arccos 2x=\pi.$$

Следовательно, график — отрезок прямой $$y=\pi$$ при $$x\in\left[-\frac12;\frac12\right].$$

б) Для функции $$y=\arccos\frac1x+\arccos\left(-\frac1x\right)$$ нужно, чтобы

$$-1\le \frac1x\le 1,$$

откуда $$|x|\ge 1,$$ то есть $$x\le -1$$ или $$x\ge 1.$$

Далее

$$y=\arccos\frac1x+\pi-\arccos\frac1x=\pi.$$

Значит, график состоит из двух лучей прямой $$y=\pi$$ при $$x\le -1$$ и $$x\ge 1.$$

в) Для функции $$y=\operatorname{arcctg}x+\operatorname{arcctg}(-x)$$ область определения: $$x\in\mathbb R.$$

Используем формулу $$\operatorname{arcctg}(-x)=\pi-\operatorname{arcctg}x.$$ Тогда

$$y=\operatorname{arcctg}x+\pi-\operatorname{arcctg}x=\pi.$$

График — прямая $$y=\pi$$ при всех $$x\in\mathbb R.$$

г) Для функции $$y=\operatorname{arcctg}\sqrt{x}+\operatorname{arcctg}(-\sqrt{x})$$ область определения задаётся условием

$$x\ge 0.$$

Так как $$\operatorname{arcctg}(-t)=\pi-\operatorname{arcctg}t,$$ то

$$y=\operatorname{arcctg}\sqrt{x}+\pi-\operatorname{arcctg}\sqrt{x}=\pi.$$

Следовательно, график — луч прямой $$y=\pi$$ при $$x\ge 0.$$

Ответ

а) $$y=\pi,\quad x\in\left[-\frac12;\frac12\right];$$ б) $$y=\pi,\quad x\le -1$$ или $$x\ge 1;$$ в) $$y=\pi,\quad x\in\mathbb R;$$ г) $$y=\pi,\quad x\ge 0.$$