Упр.17.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\operatorname{tg}(\pi+x)=\sqrt{3}$$
б) $$2\operatorname{ctg}(2\pi+x)-\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\sqrt{3}$$
в) $$-\sqrt{3}\operatorname{tg}(\pi-x)=1$$
г) $$\operatorname{ctg}(2\pi-x)+\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=2$$

а) $$\tg(\pi+x)=\sqrt{3}$$

Так как $$\tg(\pi+x)=\tg x,$$ получаем

$$\tg x=\sqrt{3}.$$

Тогда

$$x=\arctg \sqrt{3}+\pi k=\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

б) $$2\ctg(2\pi+x)-\tg\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\sqrt{3}$$

Используем формулы приведения:

$$\ctg(2\pi+x)=\ctg x,\qquad \tg\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\ctg x.$$

Тогда

$$2\ctg x-(-\ctg x)=\sqrt{3},$$

$$3\ctg x=\sqrt{3},$$

$$\ctg x=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Следовательно,

$$x=\arcctg\frac{\sqrt{3}}{3}+\pi k=\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

в) $$-\sqrt{3}\tg(\pi-x)=1$$

Так как $$\tg(\pi-x)=-\tg x,$$ имеем

$$-\sqrt{3}(-\tg x)=1,$$

$$\sqrt{3}\tg x=1,$$

$$\tg x=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Тогда

$$x=\arctg\frac{\sqrt{3}}{3}+\pi k=\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

г) $$\ctg(2\pi-x)+\tg\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=2$$

Используем формулы приведения:

$$\ctg(2\pi-x)=-\ctg x,\qquad \tg\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\ctg x.$$

Тогда

$$-\ctg x-\ctg x=2,$$

$$-2\ctg x=2,$$

$$\ctg x=-1.$$

Следовательно,

$$x=\arcctg(-1)+\pi k=\frac{3\pi}{4}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi k$$; б) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi k$$; в) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi k$$; г) $$x=\frac{3\pi}{4}+\pi k,$$ $$k\in \mathbb{Z}.$$