Упр.17.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\tan^2 x-6\tan x+5=0$$; б) $$\tan^2 x-2\tan x-3=0$$.

Положим $$t=\tg x.$$ Тогда получаем квадратные уравнения.

а)

$$\tg^2 x-6\tg x+5=0$$

$$t^2-6t+5=0$$

$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16$$

$$t_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{6\pm 4}{2}$$

$$t_1=1,\quad t_2=5$$

Тогда:

$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$

$$\tg x=5 \Rightarrow x=\arctg 5+\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$

б)

$$\tg^2 x-2\tg x-3=0$$

$$t^2-2t-3=0$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16$$

$$t_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm 4}{2}$$

$$t_1=3,\quad t_2=-1$$

Тогда:

$$\tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$

$$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \ x=\arctg 5+\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$

б) $$x=\arctg 3+\pi n,\ \ x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$