Упр.16.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите область допустимых значений выражения:

а) $$\arcsin x$$;

б) $$\arcsin(5-2x)$$;

в) $$\arcsin\frac{x}{2}$$;

г) $$\arcsin(x^2-3)$$.

Для арксинуса нужно, чтобы его аргумент принадлежал отрезку $$[-1;1].$$

1. $$\arcsin x$$

   Тогда

   $$-1 \le x \le 1.$$

   Следовательно, $$x \in [-1;1].$$

2. $$\arcsin(5-2x)$$

   Тогда

   $$-1 \le 5-2x \le 1.$$

   Вычтем $$5$$:

   $$-6 \le -2x \le -4.$$

   Разделим на $$-2$$, изменив знаки неравенств:

   $$3 \ge x \ge 2.$$

   Значит, $$x \in [2;3].$$

3. $$\arcsin \frac{x}{2}$$

   Тогда

   $$-1 \le \frac{x}{2} \le 1.$$

   Умножим на $$2$$:

   $$-2 \le x \le 2.$$

   Следовательно, $$x \in [-2;2].$$

4. $$\arcsin(x^2-3)$$

   Тогда

   $$-1 \le x^2-3 \le 1.$$

   Прибавим $$3$$:

   $$2 \le x^2 \le 4.$$

   Отсюда

   $$\sqrt{2} \le |x| \le 2.$$

   Значит,

   $$x \in [-2;-\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2};2].$$

Ответ: а) $$[-1;1]$$; б) $$[2;3]$$; в) $$[-2;2]$$; г) $$[-2;-\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2};2].$$