Упр.16.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите: а) $$\cos\left(\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)\right)$$; б) $$\operatorname{tg}\left(\arcsin 0{,}6\right)$$; в) $$\cos\left(\arcsin\frac{8}{17}\right)$$; г) $$\operatorname{ctg}\left(\arcsin\left(-0{,}8\right)\right)$$.

Пусть $$\varphi=\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right).$$ Тогда $$\sin\varphi=-\frac{5}{13},$$ а так как $$\varphi\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],$$ то $$\cos\varphi>0.$$ Следовательно,

$$\cos\left(\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)\right)=\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi}=\sqrt{1-\left(-\frac{5}{13}\right)^2}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}.$$

Пусть $$\varphi=\arcsin(0{,}6).$$ Тогда $$\sin\varphi=0{,}6,$$ и

$$\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi}=\sqrt{1-0{,}6^2}=\sqrt{0{,}64}=0{,}8.$$

Тогда

$$\tg(\arcsin 0{,}6)=\tg\varphi=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\frac{0{,}6}{0{,}8}=\frac{3}{4}.$$

Пусть $$\varphi=\arcsin\left(\frac{8}{17}\right).$$ Тогда $$\sin\varphi=\frac{8}{17},$$ и

$$\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi}=\sqrt{1-\left(\frac{8}{17}\right)^2}=\sqrt{\frac{225}{289}}=\frac{15}{17}.$$

Следовательно,

$$\cos\left(\arcsin\frac{8}{17}\right)=\frac{15}{17}.$$

Пусть $$\varphi=\arcsin(-0{,}8).$$ Тогда $$\sin\varphi=-0{,}8,$$ и

$$\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi}=\sqrt{1-(-0{,}8)^2}=\sqrt{0{,}36}=0{,}6.$$

Тогда

$$\ctg(\arcsin(-0{,}8))=\ctg\varphi=\frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}=\frac{0{,}6}{-0{,}8}=-\frac{3}{4}.$$

Ответ

а) $$\frac{12}{13}$$; б) $$\frac{3}{4}$$; в) $$\frac{15}{17}$$; г) $$-\frac{3}{4}$$.