Упр.16.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$5\sin^2 t>11\sin t+12$$;
   б) $$5\sin^2 t\leq 11\sin t+12$$.

Пусть $$y=\sin t.$$ Тогда получаем квадратные неравенства.

а)

$$5y^2-11y-12>0$$

Найдём корни уравнения $$5y^2-11y-12=0$$:

$$D=11^2-4\cdot 5\cdot(-12)=121+240=361,$$

$$y_{1,2}=\frac{11\pm 19}{10},\quad y_1=-\frac45,\quad y_2=3.$$

Тогда

$$5(y+\tfrac45)(y-3)>0,$$

откуда

$$y<-\frac45 \quad \text{или} \quad y>3.$$

Так как $$\sin t\in[-1;1],$$ то условие $$\sin t>3$$ невозможно, остаётся только

$$\sin t<-\frac45.$$

Для синуса это даёт

$$\pi+\arcsin\frac45+2\pi k<t<2\pi-\arcsin\frac45+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

б)

$$5y^2-11y-12\le 0$$

Корни те же: $$y_1=-\frac45,\; y_2=3.$$ Тогда

$$5(y+\tfrac45)(y-3)\le 0,$$

откуда

$$-\frac45\le y\le 3.$$

С учётом $$\sin t\in[-1;1]$$ получаем

$$\sin t\ge -\frac45.$$

Следовательно,

$$-\arcsin\frac45+2\pi k\le t\le \pi+\arcsin\frac45+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\pi+\arcsin\frac45+2\pi k<t<2\pi-\arcsin\frac45+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

б) $$-\arcsin\frac45+2\pi k\le t\le \pi+\arcsin\frac45+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$