Упр.16.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin t < \frac{1}{3}$$; б) $$\sin t \geq -0{,}6$$; в) $$\sin t \geq \frac{1}{3}$$; г) $$\sin t < -0{,}6$$.

Используем свойства функции $$\sin t$$ и периодичность с периодом $$2\pi$$.

а)

Решаем уравнение $$\sin t=\frac13.$$

Точки, в которых $$\sin t=\frac13$$, равны

$$t_1=\arcsin\frac13+2\pi k,\qquad t_2=\pi-\arcsin\frac13+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Между этими точками синус больше $$\frac13$$, а вне их — меньше. Поэтому

$$-\pi-\arcsin\frac13+2\pi k<t<\arcsin\frac13+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

б)

Решаем уравнение $$\sin t=-0{,}6.$$

Точки, в которых $$\sin t=-0{,}6$$, равны

$$t_1=-\arcsin 0{,}6+2\pi k,\qquad t_2=\pi+\arcsin 0{,}6+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$-\arcsin 0{,}6+2\pi k\le t\le \pi+\arcsin 0{,}6+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

в)

Решаем уравнение $$\sin t=\frac13.$$

Получаем те же граничные точки:

$$t_1=\arcsin\frac13+2\pi k,\qquad t_2=\pi-\arcsin\frac13+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Для неравенства $$\sin t\ge \frac13$$ берём отрезок между ними:

$$\arcsin\frac13+2\pi k\le t\le \pi-\arcsin\frac13+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

г)

Решаем уравнение $$\sin t=-0{,}6.$$

Граничные точки:

$$t_1=\pi+\arcsin 0{,}6+2\pi k,\qquad t_2=2\pi-\arcsin 0{,}6+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Для неравенства $$\sin t<-0{,}6$$ получаем

$$\pi+\arcsin 0{,}6+2\pi k<t<2\pi-\arcsin 0{,}6+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$-\pi-\arcsin\frac13+2\pi k<t<\arcsin\frac13+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
б) $$-\arcsin 0{,}6+2\pi k\le t\le \pi+\arcsin 0{,}6+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
в) $$\arcsin\frac13+2\pi k\le t\le \pi-\arcsin\frac13+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$;
г) $$\pi+\arcsin 0{,}6+2\pi k<t<2\pi-\arcsin 0{,}6+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$.