Упр.16.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$$;
2. $$\sin t > -\frac{1}{2}$$;
3. $$\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$$;
4. $$\sin t \leq -\frac{1}{2}$$.

а) Для неравенства $$\sin t>\frac{\sqrt{3}}{2}$$ сначала найдём точки, в которых $$\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Имеем:

$$t=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

На промежутке между этими точками синус больше $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$, поэтому

$$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

б) Для неравенства $$\sin t>-\frac{1}{2}$$ решаем уравнение $$\sin t=-\frac{1}{2}.$$

Получаем:

$$t=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad t=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Тогда

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

в) Для неравенства $$\sin t<\frac{\sqrt{3}}{2}$$ точки равенства те же:

$$t=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Синус меньше $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ вне промежутка между этими точками, а в записи с одним промежутком получаем

$$-\frac{4\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

г) Для неравенства $$\sin t\le -\frac{1}{2}$$ решаем уравнение $$\sin t=-\frac{1}{2}.$$

Имеем:

$$t=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad t=\frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Тогда

$$\frac{7\pi}{6}+2\pi n\le t\le \frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

б) $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

в) $$-\frac{4\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

г) $$\frac{7\pi}{6}+2\pi n\le t\le \frac{11\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$