Упр.16.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
   а) $$\sin x=\frac{1}{2}$$, $$x\in[0;2\pi]$$;
   б) $$\cos x=-\frac{1}{2}$$, $$x\in[-\pi;\pi]$$;
   в) $$\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$x\in[-\pi;2\pi]$$;
   г) $$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$x\in[-2\pi;\pi]$$.

а) $$\sin x=\frac12,\quad x\in[0;2\pi]$$

Общее решение:

$$x=(-1)^n\arcsin\frac12+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем:

$$x_1=\frac{\pi}{6},\qquad x_2=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}.$$

б) $$\cos x=-\frac12,\quad x\in[-\pi;\pi]$$

Общее решение:

$$x=\pm\arccos\!\left(-\frac12\right)+2\pi n=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На отрезке $$[-\pi;\pi]$$ получаем:

$$x_1=-\frac{2\pi}{3},\qquad x_2=\frac{2\pi}{3}.$$

Ответ: $$-\frac{2\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3}.$$

в) $$\sin x=-\frac{\sqrt2}{2},\quad x\in[-\pi;2\pi]$$

Общее решение:

$$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{\sqrt2}{2}+\pi n=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На отрезке $$[-\pi;2\pi]$$ получаем:

$$x_1=-\frac{3\pi}{4},\qquad x_2=-\frac{\pi}{4},\qquad x_3=\frac{5\pi}{4},\qquad x_4=\frac{7\pi}{4}.$$

Ответ: $$-\frac{3\pi}{4},\ -\frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}.$$

г) $$\cos x=\frac{\sqrt3}{2},\quad x\in[-2\pi;\pi]$$

Общее решение:

$$x=\pm\arccos\frac{\sqrt3}{2}+2\pi n=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На отрезке $$[-2\pi;\pi]$$ получаем:

$$x_1=-\frac{11\pi}{6},\qquad x_2=-\frac{\pi}{6},\qquad x_3=\frac{\pi}{6}.$$

Ответ: $$-\frac{11\pi}{6},\ -\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{6}.$$