Упр.15.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Вычислите:

1. $$\cos\left(2\arccos\frac{1}{2}-3\arccos 0-\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$;
2. $$\frac{1}{3}\left(\arccos\frac{1}{3}+\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$$.

а) $$\cos\left(2\arccos\frac12-3\arccos 0-\arccos\left(-\frac12\right)\right)$$

Так как $$\arccos\frac12=\frac{\pi}{3},\quad \arccos 0=\frac{\pi}{2},\quad \arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3},$$ то

$$\cos\left(2\cdot\frac{\pi}{3}-3\cdot\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=\cos\frac{3\pi}{2}=0.$$

б) $$\frac13\left(\arccos\frac13+\arccos\left(-\frac13\right)\right)$$

Поскольку $$\arccos\left(-x\right)=\pi-\arccos x,$$ получаем

$$\frac13\left(\arccos\frac13+\pi-\arccos\frac13\right)=\frac13\cdot\pi=\frac{\pi}{3}.$$

Ответ: а) $$0$$; б) $$\frac{\pi}{3}$$.