Упр.15.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. 15.5. Решите уравнение: а) $$\cos t=\frac{1}{2}$$; б) $$\cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}$$; в) $$\cos t=1$$; г) $$\cos t=\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Используем общее решение уравнения $$\cos t = a$$:

$$t = \pm \arccos a + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.$$

1. $$\cos t = \frac{1}{2}$$

   $$\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}.$$

   Тогда

   $$t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.$$

2. $$\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

   $$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}.$$

   Тогда

   $$t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.$$

3. $$\cos t = 1$$

   $$\arccos 1 = 0.$$

   Следовательно,

   $$t = 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.$$

4. $$\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}.$$

   Тогда

   $$t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.$$

Ответ: а) $$t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$$; б) $$t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$$; в) $$t = 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$$; г) $$t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$$.