Упр.15.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\operatorname{tg}\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right)$$; б) $$\operatorname{ctg}\left(\arccos\frac{4}{5}\right)$$.

Пусть $$\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)=\varphi.$$ Тогда $$\cos\varphi=-\frac{5}{13}.$$

Так как $$\varphi \in [0;\pi],$$ то $$\sin\varphi>0.$$ Найдём синус:

$$\sin\varphi=\sqrt{1-\cos^2\varphi}=\sqrt{1-\left(-\frac{5}{13}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}.$$

Тогда

$$\tg\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right)=\tg\varphi=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}}=-\frac{12}{5}.$$

Пусть $$\arccos\frac{4}{5}=\varphi.$$ Тогда $$\cos\varphi=\frac{4}{5}.$$

Так как $$\varphi \in [0;\pi],$$ то $$\sin\varphi>0.$$ Найдём синус:

$$\sin\varphi=\sqrt{1-\cos^2\varphi}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.$$

Тогда

$$\ctg\left(\arccos\frac{4}{5}\right)=\ctg\varphi=\frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}.$$

Ответ: а) $$-\frac{12}{5}$$; б) $$\frac{4}{3}$$.