Упр.15.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$4\cos^2 t < 1$$; б) $$3\cos^2 t < \cos t$$; в) $$9\cos^2 t > 1$$; г) $$3\cos^2 t > \cos t$$.

Положим $$x=\cos t.$$ Тогда каждое неравенство сводится к квадратному относительно $$x$$.

1. $$4\cos^2 t<1$$

   $$4x^2-1<0$$

   $$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)<0$$

   $$-\frac12<x<\frac12$$

   Значит,

   $$\frac{\pi}{3}+2\pi k<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2. $$3\cos^2 t<\cos t$$

   $$3x^2-x<0$$

   $$x(3x-1)<0$$

   $$0<x<\frac13$$

   Следовательно,

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi k<t<-\arccos\frac13+2\pi k$$

   или

   $$\arccos\frac13+2\pi k<t<\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

3. $$9\cos^2 t>1$$

   $$9x^2-1>0$$

   $$\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)>0$$

   $$x<-\frac13\quad \text{или}\quad x>\frac13$$

   Значит,

   $$-\arccos\frac13+\pi k<t<\arccos\frac13+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

4. $$3\cos^2 t>\cos t$$

   $$3x^2-x>0$$

   $$x(3x-1)>0$$

   $$x<0\quad \text{или}\quad x>\frac13$$

   Следовательно,

   $$-\arccos\frac13+2\pi k<t<\arccos\frac13+2\pi k$$

   или

   $$\frac{\pi}{2}+2\pi k<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{3}+\pi k<t<\frac{2\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z;$$

б) $$-\frac{\pi}{2}+2\pi k<t<-\arccos\frac13+2\pi k$$
или $$\arccos\frac13+2\pi k<t<\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z;$$

в) $$-\arccos\frac13+\pi k<t<\arccos\frac13+\pi k,\quad k\in\mathbb Z;$$

г) $$-\arccos\frac13+2\pi k<t<\arccos\frac13+2\pi k$$
или $$\frac{\pi}{2}+2\pi k<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$