Упр.15.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\cos x=\frac{1}{2},\quad x\in(1;6)$$; б) $$\cos x=-\frac{1}{2},\quad x\in(2;10)$$; в) $$\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad x\in\left(-\frac{\pi}{4};12\right)$$; г) $$\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2},\quad x\in\left(-4;\frac{5\pi}{4}\right)$$.

а) $$\cos x=\frac12,\quad x\in(1;6).$$

Общее решение уравнения:

$$x=\pm \arccos \frac12+2\pi n=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На промежутке $$\left(1;6\right)$$ получаем:

$$x_1=\frac{\pi}{3},\qquad x_2=-\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{5\pi}{3}.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{3};\ \frac{5\pi}{3}.$$

б) $$\cos x=-\frac12,\quad x\in(2;10).$$

Общее решение уравнения:

$$x=\pm \arccos\!\left(-\frac12\right)+2\pi n=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На промежутке $$\left(2;10\right)$$ получаем:

$$x_1=\frac{2\pi}{3},\qquad x_2=\frac{4\pi}{3},\qquad x_3=\frac{8\pi}{3}.$$

Ответ: $$\frac{2\pi}{3};\ \frac{4\pi}{3};\ \frac{8\pi}{3}.$$

в) $$\cos x=\frac{\sqrt2}{2},\quad x\in\left(-\frac{\pi}{4};12\right).$$

Общее решение уравнения:

$$x=\pm \arccos \frac{\sqrt2}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{4};12\right)$$ получаем:

$$x_1=\frac{\pi}{4},\qquad x_2=\frac{7\pi}{4},\qquad x_3=\frac{9\pi}{4},\qquad x_4=\frac{15\pi}{4}.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{4};\ \frac{7\pi}{4};\ \frac{9\pi}{4};\ \frac{15\pi}{4}.$$

г) $$\cos x=-\frac{\sqrt2}{2},\quad x\in\left(-4;\frac{5\pi}{4}\right).$$

Общее решение уравнения:

$$x=\pm \arccos\!\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)+2\pi n=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На промежутке $$\left(-4;\frac{5\pi}{4}\right)$$ получаем:

$$x_1=-\frac{5\pi}{4},\qquad x_2=-\frac{3\pi}{4},\qquad x_3=\frac{3\pi}{4}.$$

Ответ: $$-\frac{5\pi}{4};\ -\frac{3\pi}{4};\ \frac{3\pi}{4}.$$