Упр.15.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$3\cos^2 t-4\cos t\geq 4$$; б) $$6\cos^2 t+1>5\cos t$$; в) $$3\cos^2 t-4\cos t<4$$; г) $$6\cos^2 t+1\leq 5\cos t$$.

Положим $$y=\cos t.$$ Тогда получаем квадратные неравенства.

а)

$$3\cos^2 t-4\cos t\ge 4$$

$$3y^2-4y-4\ge 0$$

Найдём корни уравнения $$3y^2-4y-4=0$$:

$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-4)=16+48=64,$$

$$y_{1,2}=\frac{4\pm 8}{6},\qquad y_1=-\frac23,\quad y_2=2.$$

Тогда

$$\left(y+\frac23\right)(y-2)\ge 0,$$

$$y\le -\frac23 \quad \text{или} \quad y\ge 2.$$

Так как $$\cos t\le 1,$$ то условие $$\cos t\ge 2$$ невозможно. Остаётся

$$\cos t\le -\frac23.$$

Следовательно,

$$\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n\le t\le 2\pi-\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б)

$$6\cos^2 t+1>5\cos t$$

$$6y^2-5y+1>0$$

Найдём корни уравнения $$6y^2-5y+1=0$$:

$$D=25-24=1,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 1}{12},\qquad y_1=\frac13,\quad y_2=\frac12.$$

Тогда

$$\left(y-\frac13\right)\left(y-\frac12\right)>0,$$

$$y<\frac13 \quad \text{или} \quad y>\frac12.$$

С учётом $$-1\le \cos t\le 1$$ получаем

$$\cos t\in\left[-1;\frac13\right)\cup\left(\frac12;1\right].$$

Значит,

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

или

$$\arccos\frac13+2\pi n<t<2\pi-\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в)

$$3\cos^2 t-4\cos t<4$$

$$3y^2-4y-4<0$$

По найденным выше корням имеем

$$\left(y+\frac23\right)(y-2)<0,$$

$$-\frac23<y<2.$$

С учётом $$-1\le \cos t\le 1$$ получаем

$$\cos t>-\frac23.$$

Следовательно,

$$-\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n<t<\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г)

$$6\cos^2 t+1\le 5\cos t$$

$$6y^2-5y+1\le 0$$

Корни те же: $$y_1=\frac13,\; y_2=\frac12.$$ Тогда

$$\left(y-\frac13\right)\left(y-\frac12\right)\le 0,$$

$$\frac13\le y\le \frac12.$$

Значит,

$$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le t\le \arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

или

$$-\arccos\frac13+2\pi n\le t\le -\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n\le t\le 2\pi-\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$

б) $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ или $$\arccos\frac13+2\pi n<t<2\pi-\arccos\frac13+2\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$

в) $$-\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n<t<\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$

г) $$-\arccos\frac13+2\pi n\le t\le -\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ или $$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le t\le \arccos\frac13+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$