Упр.15.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

а) $$\cos t > \frac{1}{2}$$; б) $$\cos t \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$$; в) $$\cos t \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$$; г) $$\cos t < \frac{1}{2}$$.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

1. $$\cos t>\frac{1}{2}$$

   Границы промежутка задаются уравнением $$\cos t=\frac{1}{2}.$$

   Отсюда

   $$t=\pm \arccos \frac{1}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   Так как $$\cos t>\frac{1}{2}$$, получаем

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

2. $$\cos t\le -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Границы промежутка задаются уравнением $$\cos t=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Тогда

   $$t=\pm \arccos\!\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\pi n=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   Следовательно,

   $$\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le t\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

3. $$\cos t\ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Границы те же:

   $$t=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   Так как требуется неравенство $$\ge$$, получаем

   $$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le t\le \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

4. $$\cos t<\frac{1}{2}$$

   Границы:

   $$t=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   Тогда

   $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

а) $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z};$$
б) $$\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le t\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z};$$
в) $$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le t\le \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z};$$
г) $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$