Упр.15.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите корни заданного уравнения на заданном промежутке: а) $$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$x\in[0;2\pi]$$; б) $$\cos x=-\frac{1}{2}$$, $$x\in[2\pi;4\pi]$$; в) $$\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$x\in[-\pi;3\pi]$$; г) $$\cos x=-1$$, $$x\in\left[-\frac{3\pi}{2};2\pi\right]$$.

а) $$\cos x=\frac{\sqrt3}{2}, \quad x\in[0;2\pi].$$

Общее решение:

$$x=\pm \arccos\frac{\sqrt3}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем:

$$x_1=\frac{\pi}{6}, \qquad x_2=-\frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{11\pi}{6}.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}.$$

б) $$\cos x=-\frac12, \quad x\in[2\pi;4\pi].$$

Общее решение:

$$x=\pm\left(\pi-\arccos\frac12\right)+2\pi n=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На отрезке $$[2\pi;4\pi]$$ получаем:

$$x_1=\frac{2\pi}{3}+2\pi=\frac{8\pi}{3}, \qquad x_2=-\frac{2\pi}{3}+4\pi=\frac{10\pi}{3}.$$

Ответ: $$\frac{8\pi}{3},\ \frac{10\pi}{3}.$$

в) $$\cos x=\frac{\sqrt2}{2}, \quad x\in[-\pi;3\pi].$$

Общее решение:

$$x=\pm \arccos\frac{\sqrt2}{2}+2\pi n=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На отрезке $$[-\pi;3\pi]$$ получаем:

$$x_1=-\frac{\pi}{4}, \qquad x_2=\frac{\pi}{4}, \qquad x_3=-\frac{\pi}{4}+2\pi=\frac{7\pi}{4}, \qquad x_4=\frac{\pi}{4}+2\pi=\frac{9\pi}{4}.$$

Ответ: $$-\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4}.$$

г) $$\cos x=-1, \quad x\in\left[-\frac{3\pi}{2};2\pi\right].$$

Общее решение:

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На отрезке $$\left[-\frac{3\pi}{2};2\pi\right]$$ получаем:

$$x_1=-\pi,\qquad x_2=\pi.$$

Ответ: $$-\pi,\ \pi.$$