Упр.15.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

1. а) $$\frac{8\cos t-3}{3\cos t+2}=1$$; б) $$\frac{3\cos t+1}{2}+\frac{5\cos t-1}{3}=1{,}75$$.

а) $$\frac{8\cos t-3}{3\cos t+2}=1$$

$$8\cos t-3=3\cos t+2$$

$$5\cos t=5$$

$$\cos t=1$$

Проверим знаменатель: $$3\cos t+2=3\cdot 1+2=5\neq 0.$$

Тогда

$$t=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$t=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\frac{3\cos t+1}{2}+\frac{5\cos t-1}{3}=1{,}75$$

Умножим обе части на $$6$$:

$$3(3\cos t+1)+2(5\cos t-1)=1{,}75\cdot 6$$

$$9\cos t+3+10\cos t-2=10{,}5$$

$$19\cos t+1=10{,}5$$

$$19\cos t=9{,}5$$

$$\cos t=\frac{9{,}5}{19}=\frac12$$

Тогда

$$t=\pm \arccos\frac12+2\pi n=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$t=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$