Упр.14.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=\operatorname{tg}x\cdot\sin^2x$$; б) $$f(x)=\frac{\operatorname{tg}^2x}{x^2-1}$$; в) $$f(x)=x^5\cdot\operatorname{tg}x$$; г) $$f(x)=x^2+\sin x+\operatorname{tg}x$$.

Исследуем каждую функцию на чётность, используя свойства $$\sin(-x)=-\sin x$$, $$\tg(-x)=-\tg x$$ и $$(-x)^2=x^2$$, $$(-x)^5=-x^5$$.

1. $$f(x)=\tg x\cdot \sin^2 x$$

   $$f(-x)=\tg(-x)\cdot \sin^2(-x)=-\tg x\cdot \sin^2 x=-f(x).$$
   Значит, функция нечётная.

2. $$f(x)=\dfrac{\tg^2 x}{x^2-1}$$

   $$f(-x)=\dfrac{\tg^2(-x)}{(-x)^2-1}=\dfrac{\tg^2 x}{x^2-1}=f(x).$$
   Значит, функция чётная.

3. $$f(x)=x^5\cdot \tg x$$

   $$f(-x)=(-x)^5\cdot \tg(-x)=-x^5\cdot(-\tg x)=x^5\cdot \tg x=f(x).$$
   Значит, функция чётная.

4. $$f(x)=x^2+\sin x+\tg x$$

   $$f(-x)=(-x)^2+\sin(-x)+\tg(-x)=x^2-\sin x-\tg x.$$
   Это не равно ни $$f(x)$$, ни $$-f(x)$$, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: а) нечётная; б) чётная; в) чётная; г) ни чётная, ни нечётная.