Упр.14.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Исследуйте функцию $$f=f(x)$$ на чётность:

1. $$f(x)=\operatorname{tg}x-\cos x$$;
2. $$f(x)=\operatorname{tg}x+x$$;
3. $$f(x)=\operatorname{ctg}^2x-x^4$$;
4. $$f(x)=x^3-\operatorname{ctg}x$$.

Исследуем функцию на чётность, сравнивая $$f(-x)$$ с $$f(x)$$ и $$-f(x)$$.

1. $$f(x)=\tg x-\cos x$$

   Область определения симметрична относительно нуля, так как $$x\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   Найдём $$f(-x)$$:

   $$f(-x)=\tg(-x)-\cos(-x)=-\tg x-\cos x.$$

   При этом $$f(-x)\ne f(x)$$ и $$f(-x)\ne -f(x)$$, значит функция не является ни чётной, ни нечётной.

   Ответ: ни чётная, ни нечётная.

2. $$f(x)=\tg x+x$$

   Область определения симметрична относительно нуля, так как $$x\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   Найдём $$f(-x)$$:

   $$f(-x)=\tg(-x)+(-x)=-\tg x-x=-(\tg x+x)=-f(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

   Ответ: нечётная.

3. $$f(x)=\ctg^2 x-x^4$$

   Область определения симметрична относительно нуля, так как $$x\ne \pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   Найдём $$f(-x)$$:

   $$f(-x)=\ctg^2(-x)-(-x)^4=\ctg^2 x-x^4=f(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

   Ответ: чётная.

4. $$f(x)=x^3-\ctg x$$

   Область определения симметрична относительно нуля, так как $$x\ne \pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   Найдём $$f(-x)$$:

   $$f(-x)=(-x)^3-\ctg(-x)=-x^3+\ctg x=-(x^3-\ctg x)=-f(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

   Ответ: нечётная.