Упр.14.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите графически уравнение: а) $$\operatorname{ctg} x=1$$; б) $$\operatorname{ctg} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$; в) $$\operatorname{ctg} x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$; г) $$\operatorname{ctg} x=0$$.

Для уравнения $$\ctg x = a$$ решения повторяются с периодом $$\pi$$, поэтому достаточно найти одну точку пересечения графиков и записать общий вид ответа.

1. $$\ctg x = 1$$

   Графики $$y=\ctg x$$ и $$y=1$$ пересекаются при $$x=\frac{\pi}{4}$$. С учётом периода $$\pi$$ получаем:

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. $$\ctg x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   Графики пересекаются при $$x=\frac{\pi}{3}$$. Тогда

   $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. $$\ctg x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   Графики пересекаются при $$x=\frac{2\pi}{3}$$. Значит,

   $$x=\frac{2\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4. $$\ctg x=0$$

   Графики пересекаются при $$x=\frac{\pi}{2}$$. Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; б) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; в) $$x=\frac{2\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; г) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$.