Упр.14.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=\operatorname{ctg}x$$ на заданном промежутке: а) на отрезке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right]$$; б) на полуинтервале $$\left[\frac{\pi}{2};\pi\right)$$; в) на интервале $$(-\pi;0)$$; г) на отрезке $$\left[\frac{\pi}{6};\frac{3\pi}{4}\right]$$.

Функция $$y=\ctg x$$ на каждом промежутке, где она определена, убывает.

а)

На отрезке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right]$$ функция непрерывна, значит наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка:

$$y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\ctg\frac{\pi}{4}=1,\qquad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\ctg\frac{\pi}{2}=0$$

Следовательно, $$y_{\max}=1,$$ $$y_{\min}=0.$$

б)

На полуинтервале $$\left[\frac{\pi}{2};\pi\right)$$ функция убывает, но в точке $$x=\pi$$ имеет разрыв, поэтому наименьшее значение не достигается.

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\ctg\frac{\pi}{2}=0$$

Значит, $$y_{\max}=0,$$ а наименьшего значения нет.

в)

На интервале $$(-\pi;0)$$ функция имеет разрывы в точках $$x=-\pi$$ и $$x=0,$$ поэтому ни наименьшее, ни наибольшее значение не достигаются.

Следовательно, $$y_{\min}$$ не существует и $$y_{\max}$$ не существует.

г)

На отрезке $$\left[\frac{\pi}{6};\frac{3\pi}{4}\right]$$ функция непрерывна, значит достаточно найти значения на концах отрезка:

$$y\left(\frac{\pi}{6}\right)=\ctg\frac{\pi}{6}=\sqrt{3},\qquad y\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\ctg\frac{3\pi}{4}=-1$$

Следовательно, $$y_{\max}=\sqrt{3},$$ $$y_{\min}=-1.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=1$$;
б) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=0$$;
в) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}$$ не существует;
г) $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=\sqrt{3}$$.