Упр.14.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=x^2+1$$. Докажите, что $$f(\operatorname{tg} x)=\frac{1}{\cos^2 x}$$.

Воспользуемся определением функции $$f(x)=x^2+1$$ и подставим вместо аргумента $$x$$ выражение $$\tg x$$:

$$f(\tg x)=(\tg x)^2+1.$$

Так как $$\tg x=\dfrac{\sin x}{\cos x},$$ то

$$f(\tg x)=\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}+1=\dfrac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\cos^2 x}=\dfrac{1}{\cos^2 x}.$$

Следовательно, $$f(\tg x)=\dfrac{1}{\cos^2 x}$$, что и требовалось доказать.

Ответ

$$f(\tg x)=\dfrac{1}{\cos^2 x}.$$