Упр.14.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что число $$\pi$$ является периодом функции:

а) $$y=\operatorname{tg}x+\sin 2x-\operatorname{tg}3x-\cos 4x$$;

б) $$y=\sin 3x+\cos 5x+\operatorname{ctg}x-2\operatorname{tg}2x$$.

Проверим периодичность по свойствам тригонометрических функций.

1. $$y=\tg x+\sin 2x-\tg 3x-\cos 4x.$$

   Найдём значения функции при замене $$x$$ на $$x+\pi$$:

   $$\begin{aligned} y(x+\pi)&=\tg(x+\pi)+\sin 2(x+\pi)-\tg 3(x+\pi)-\cos 4(x+\pi)\\ &=\tg x+\sin(2x+2\pi)-\tg(3x+3\pi)-\cos(4x+4\pi)\\ &=\tg x+\sin 2x-\tg 3x-\cos 4x\\ &=y(x). \end{aligned}$$

   Следовательно, $$\pi$$ является периодом функции.

2. $$y=\sin 3x+\cos 5x+\ctg x-2\tg 2x.$$

   Проверим, сохраняется ли функция при замене $$x$$ на $$x+\pi$$:

   $$\begin{aligned} y(x+\pi)&=\sin 3(x+\pi)+\cos 5(x+\pi)+\ctg(x+\pi)-2\tg 2(x+\pi)\\ &=\sin(3x+3\pi)+\cos(5x+5\pi)+\ctg x-2\tg(2x+2\pi)\\ &=-\sin 3x-\cos 5x+\ctg x-2\tg 2x. \end{aligned}$$

   Так как $$y(x+\pi)\ne y(x)$$, число $$\pi$$ не является периодом этой функции.

Ответ: а) $$\pi$$ — период функции; б) $$\pi$$ не является периодом функции.