Упр.14.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что данное число $$T$$ является периодом заданной функции: а) $$y=\operatorname{tg} 2x,\ T=\frac{\pi}{2}$$; б) $$y=\operatorname{tg}\frac{x}{3},\ T=3\pi$$; в) $$y=\operatorname{tg} 5x,\ T=\frac{\pi}{5}$$; г) $$y=\operatorname{tg}\frac{2x}{5},\ T=\frac{5\pi}{2}$$.

Используем периодичность функции $$\tg x$$: $$\tg(x+\pi)=\tg x.$$ Тогда для каждой заданной функции проверим равенство $$f(x+T)=f(x).$$

1. $$y=\tg 2x,\quad T=\frac{\pi}{2}.$$

   $$y\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\tg\left(2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right)=\tg(2x+\pi)=\tg 2x.$$

   Значит, $$T=\frac{\pi}{2}$$ — период функции.

2. $$y=\tg\frac{x}{3},\quad T=3\pi.$$

   $$y(x+3\pi)=\tg\frac{x+3\pi}{3}=\tg\left(\frac{x}{3}+\pi\right)=\tg\frac{x}{3}.$$

   Значит, $$T=3\pi$$ — период функции.

3. $$y=\tg 5x,\quad T=\frac{\pi}{5}.$$

   $$y\left(x+\frac{\pi}{5}\right)=\tg\left(5\left(x+\frac{\pi}{5}\right)\right)=\tg(5x+\pi)=\tg 5x.$$

   Значит, $$T=\frac{\pi}{5}$$ — период функции.

4. $$y=\tg\frac{2x}{5},\quad T=\frac{5\pi}{2}.$$

   $$y\left(x+\frac{5\pi}{2}\right)=\tg\frac{2}{5}\left(x+\frac{5\pi}{2}\right)=\tg\left(\frac{2x}{5}+\pi\right)=\tg\frac{2x}{5}.$$

   Значит, $$T=\frac{5\pi}{2}$$ — период функции.

Ответ: а) $$\frac{\pi}{2}$$; б) $$3\pi$$; в) $$\frac{\pi}{5}$$; г) $$\frac{5\pi}{2}$$.