Упр.14.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\operatorname{tg}x$$. Докажите, что $$f(2x+2\pi)+f(7\pi-2x)=0$$.

Воспользуемся свойствами тангенса:

$$f(2x+2\pi)+f(7\pi-2x)=\tg(2x+2\pi)+\tg(7\pi-2x).$$

Так как $$\tg(\alpha+2\pi)=\tg\alpha$$ и $$\tg(\pi-\alpha)=-\tg\alpha,$$ то

$$\tg(2x+2\pi)=\tg 2x,$$
$$\tg(7\pi-2x)=\tg(\pi-2x)=-\tg 2x.$$

Тогда

$$f(2x+2\pi)+f(7\pi-2x)=\tg 2x-\tg 2x=0.$$

Ответ: $$0$$.