Упр.13.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Постройте и прочитайте график функции $$y=f(x)$$:

а) $$f(x)=\begin{cases}3\sin x, & \text{если } x<\frac{\pi}{2},\\ 2\cos x+3, & \text{если } x\geq\frac{\pi}{2};\end{cases}$$

б) $$f(x)=\begin{cases}-2\cos x, & \text{если } x<0,\\ \frac{1}{2}x^4, & \text{если } x\geq0.\end{cases}$$

а) Для функции

$$f(x)= \begin{cases} 3\sin x, & x<\dfrac{\pi}{2},\\ 2\cos x+3, & x\ge \dfrac{\pi}{2} \end{cases}$$

при $$x=\dfrac{\pi}{2}$$ обе части дают одно и то же значение:

$$3\sin \dfrac{\pi}{2}=3,\qquad 2\cos \dfrac{\pi}{2}+3=3.$$

Значит, график состоит из двух частей: слева — график $$y=3\sin x$$, справа — график $$y=2\cos x+3$$, соединённых в точке $$\left(\dfrac{\pi}{2},3\right)$$.

Свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(f)=[-3;5]$$;
• возрастает на $$\left[-\dfrac{\pi}{2}-2\pi n;\dfrac{\pi}{2}-2\pi n\right]\cup\left[\pi+2\pi n;2\pi+2\pi n\right]$$, $$n\in\mathbb{Z}$$;
• убывает на $$\left[-\dfrac{3\pi}{2}-2\pi n;-\dfrac{\pi}{2}-2\pi n\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]\cup\left[2\pi+2\pi n;3\pi+2\pi n\right]$$, $$n\in\mathbb{Z}$$;
• $$f(x)>0$$ на $$\left(-2\pi-2\pi n;-\pi-2\pi n\right)\cup(0;+\infty)$$;
• $$f(x)<0$$ на $$\left(-\pi-2\pi n;-2\pi n\right)$$, $$n\in\mathbb{Z}$$;
• функция ограничена сверху и снизу;
• $$y_{\min}=-3,\qquad y_{\max}=5$$;
• функция ни чётная, ни нечётная;
• не является периодической;
• непрерывна на $$(-\infty;+\infty)$$.

б) Для функции

$$f(x)= \begin{cases} -2\cos x, & x<0,\\ \dfrac12 x^4, & x\ge 0 \end{cases}$$

при $$x=0$$ получаем:

$$-2\cos 0=-2,\qquad \dfrac12\cdot 0^4=0.$$

Следовательно, в точке $$x=0$$ есть разрыв (излом): слева график подходит к точке $$\left(0,-2\right)$$, а справа начинается в точке $$\left(0,0\right)$$.

Свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(f)=[-2;+\infty)$$;
• возрастает на $$\left[-2\pi-2\pi n;-\pi-2\pi n\right]\cup[0;+\infty)$$, $$n\in\mathbb{Z}$$;
• убывает на $$\left[-\pi-2\pi n;-2\pi n\right]$$, $$n\in\mathbb{Z}$$;
• $$f(x)>0$$ на $$\left(-\dfrac{3\pi}{2}-2\pi n;-\dfrac{\pi}{2}-2\pi n\right)\cup(0;+\infty)$$;
• $$f(x)<0$$ на $$\left(-\dfrac{5\pi}{2}-2\pi n;-\dfrac{3\pi}{2}-2\pi n\right)\cup\left(-\dfrac{\pi}{2};0\right)$$, $$n\in\mathbb{Z}$$;
• функция ограничена снизу;
• $$y_{\min}=-2$$;
• функция ни чётная, ни нечётная;
• не является периодической;
• непрерывна на $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.