Упр.13.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=2\cos x$$: а) на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$; б) на интервале $$\left(0;\frac{3\pi}{2}\right)$$; в) на полуинтервале $$\left[\frac{\pi}{3};\frac{3\pi}{2}\right)$$; г) на отрезке $$\left[-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{4}\right]$$.

Рассмотрим функцию $$y=2\cos x.$$

1. На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ функция возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$ и убывает на $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right].$$

   Проверим значения в концах отрезка и в точке экстремума:

   $$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0,$$
   $$y(0)=2\cos 0=2,$$
   $$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=2.$$

2. На интервале $$\left(0;\frac{3\pi}{2}\right)$$ функция убывает на $$\left(0;\pi\right]$$ и возрастает на $$\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right).$$

   Тогда

   $$y(\pi)=2\cos\pi=2\cdot(-1)=-2,$$
   $$y\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0.$$

   Наибольшее значение на интервале не достигается, так как точка $$x=0$$ не входит в область определения.

   Следовательно, $$y_{\min}=-2,$$ наибольшего значения нет.

3. На полуинтервале $$\left[\frac{\pi}{3};\frac{3\pi}{2}\right)$$ функция убывает на $$\left[\frac{\pi}{3};\pi\right]$$ и возрастает на $$\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right).$$

   Проверим значения в характерных точках:

   $$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\cdot\frac12=1,$$
   $$y(\pi)=2\cos\pi=2\cdot(-1)=-2,$$
   $$y\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=1.$$

4. На отрезке $$\left[-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{4}\right]$$ функция возрастает на $$\left[-\frac{3\pi}{2};-\pi\right]$$ и убывает на $$\left[-\pi;-\frac{\pi}{4}\right].$$

   Найдём значения в концах отрезка и в точке экстремума:

   $$y\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=2\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=0,$$
   $$y(-\pi)=2\cos(-\pi)=2\cos\pi=-2,$$
   $$y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=2\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=\sqrt2.$$

Ответ: а) $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=2$$; б) $$y_{\min}=-2,$$ наибольшего значения нет; в) $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=1$$; г) $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=\sqrt2.$$