Упр.13.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Составьте возможное аналитическое задание функции (предполагается, что $$D(f)=\mathbb{R}$$) по её графику, изображённому: а) на рис. 15; б) на рис. 16; в) на рис. 17; г) на рис. 18.

а) На луче $$(-\infty;0]$$ изображена прямая, проходящая через точки $$(-1;1)$$ и $$O(0;0)$$, значит её уравнение:

$$y=-x,\quad x\le 0.$$

На луче $$[0;+\infty)$$ изображена дуга синусоиды с центром симметрии в точке $$O(0;0)$$ и вершиной в точке $$\left(\frac{\pi}{4};1\right)$$, значит:

$$y=\sin 2x,\quad x>0.$$

Следовательно,

$$f(x)=\begin{cases}-x, & x\le 0,\\ \sin 2x, & x>0.\end{cases}$$

б) На луче $$(-\infty;\frac{\pi}{3}]$$ изображена дуга синусоиды. Её вершина находится в точке $$\left(0;1\right)$$, значит:

$$y=\cos kx.$$

График пересекает ось $$Ox$$ в точке $$\left(\frac{\pi}{6};0\right)$$, поэтому

$$\frac{\pi}{2k}=\frac{\pi}{6},\quad k=3.$$

Значит, на этом промежутке

$$y=\cos 3x,\quad x\le \frac{\pi}{3}.$$

На луче $$\left(\frac{\pi}{3};+\infty\right)$$ изображена прямая $$y=-1$$, поэтому

$$f(x)=\begin{cases}\cos 3x, & x\le \frac{\pi}{3},\\ -1, & x>\frac{\pi}{3}.\end{cases}$$

в) На луче $$(-\infty;0]$$ изображена дуга синусоиды с центром симметрии в точке $$O(0;0)$$ и вершиной в точке $$\left(-\frac{\pi}{4};-1\right)$$, значит:

$$y=\sin 2x,\quad x\le 0.$$

На луче $$[0;+\infty)$$ изображена дуга косинусоиды с вершиной в точке $$\left(0;2\right)$$ и нулём в точке $$\left(\frac{\pi}{2};0\right)$$, значит:

$$y=2\cos x,\quad x>0.$$

Следовательно,

$$f(x)=\begin{cases}\sin 2x, & x\le 0,\\ 2\cos x, & x>0.\end{cases}$$

г) На луче $$(-\infty;0]$$ изображена дуга синусоиды с центром симметрии в точке $$O(0;0)$$ и вершиной в точке $$\left(-\frac{\pi}{2};2\right)$$, значит:

$$y=-2\sin x,\quad x\le 0.$$

На луче $$[0;+\infty)$$ изображена дуга косинусоиды с вершиной в точке $$\left(0;1\right)$$ и нулём в точке $$\left(\pi;0\right)$$, значит:

$$y=\cos \frac{x}{2},\quad x>0.$$

Итак,

$$f(x)=\begin{cases}-2\sin x, & x\le 0,\\ \cos \frac{x}{2}, & x>0.\end{cases}$$