Упр.13.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Для построения графика удобно использовать преобразования графиков основных тригонометрических функций.

а) $$y=-2\cos 2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$

Это график функции $$y=\cos x$$, сжатый по оси $$x$$ в 2 раза, сдвинутый влево на $$\frac{\pi}{3}$$, отражённый относительно оси $$x$$ и растянутый по оси $$y$$ в 2 раза.

Найдём нули функции:

$$\cos 2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=0$$

$$2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

$$x=-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

При $$n=0$$ и $$n=1$$ получаем соседние нули:

$$x_0=-\frac{\pi}{12}, \qquad x_1=\frac{5\pi}{12}$$

Середина дуги между ними:

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{12}+\frac{5\pi}{12}\right)=\frac{\pi}{6}$$

$$y=-2\cos 2\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)=-2\cos \pi=2$$

Значит, на промежутке между нулями график проходит через точку $$\left(\frac{\pi}{6},\,2\right)$$. Далее точки повторяются с периодом $$\pi$$.

б) $$y=-2\sin 3\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$

Это график функции $$y=\sin x$$, сжатый по оси $$x$$ в 3 раза, сдвинутый влево на $$\frac{\pi}{2}$$, отражённый относительно оси $$x$$ и растянутый по оси $$y$$ в 2 раза.

Найдём нули функции:

$$\sin 3\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=0$$

$$3\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\pi n$$

$$x=-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi n}{3}$$

При $$n=0$$ и $$n=1$$ получаем соседние нули:

$$x_0=-\frac{\pi}{2}, \qquad x_1=-\frac{\pi}{6}$$

Середина дуги между ними:

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\pi}{3}$$

$$y=-2\sin 3\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}\right)=-2\sin\frac{\pi}{2}=-2$$

Значит, на промежутке между нулями график проходит через точку $$\left(-\frac{\pi}{3},\,-2\right)$$. Далее точки повторяются с периодом $$\frac{2\pi}{3}$$.

Ответ: построены графики функций $$y=-2\cos 2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$ и $$y=-2\sin 3\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$.