Упр.13.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=\sin 2x$$: а) на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$; б) на интервале $$\left(-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right)$$; в) на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]$$; г) на полуинтервале $$\left(0;\pi\right]$$.

Рассмотрим функцию $$y=\sin 2x.$$

1. На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$ имеем $$2x\in[-\pi;0].$$

   На этом промежутке функция $$\sin t$$ принимает значения от $$-1$$ до $$0$$, причём

   $$y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(2\cdot\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,$$

   $$y(0)=\sin 0=0.$$

   Ответ: $$y_{\min}=-1,\; y_{\max}=0.$$

2. На интервале $$\left(-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right)$$ имеем $$2x\in\left(-\frac{\pi}{2};\pi\right).$$

   Значение $$-1$$ достигается при $$x=-\frac{\pi}{4}$$, но эта точка не входит в интервал, значит наименьшего значения нет.

   Наибольшее значение достигается при $$x=\frac{\pi}{4}$$:

   $$y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1.$$

   Ответ: наименьшего значения нет; $$y_{\max}=1.$$

3. На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]$$ имеем $$2x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

   Тогда

   $$y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,$$

   $$y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.$$

   Ответ: $$y_{\min}=-1,\; y_{\max}=1.$$

4. На полуинтервале $$\left(0;\pi\right]$$ имеем $$2x\in(0;2\pi].$$

   Функция $$\sin 2x$$ принимает на этом промежутке значения от $$-1$$ до $$1$$. Минимум достигается при

   $$x=\frac{3\pi}{4},\qquad y\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\sin\left(2\cdot\frac{3\pi}{4}\right)=\sin\frac{3\pi}{2}=-1,$$

   а максимум — при

   $$x=\frac{\pi}{4},\qquad y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1.$$

   Ответ: $$y_{\min}=-1,\; y_{\max}=1.$$