Упр.13.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Постройте график функции:

а) $$y=3\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$;

б) $$y=\cos\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$.

а) $$y=3\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$

Это график функции $$y=\sin x$$, сдвинутый влево на $$\frac{\pi}{2}$$ и растянутый по оси $$Oy$$ в 3 раза.

Нули функции найдём из уравнения:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=0$$

$$x+\frac{\pi}{2}=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

$$x=-\frac{\pi}{2}+\pi n$$

При $$n=0$$ получаем $$x_0=-\frac{\pi}{2}$$, при $$n=1$$ — $$x_1=\frac{\pi}{2}$$.

Середина дуги между этими нулями:

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=0$$

$$y=3\sin\frac{\pi}{2}=3$$

Значит, на промежутке между нулями график проходит через точку $$\left(0,3\right)$$, а амплитуда равна $$3$$.

б) $$y=\cos\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$

Нули функции найдём из уравнения:

$$\cos\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=0$$

$$\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

$$x+\frac{\pi}{3}=\pi+2\pi n$$

$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$

При $$n=-1$$ получаем $$x_0=-\frac{4\pi}{3}$$, при $$n=0$$ — $$x_1=\frac{2\pi}{3}$$.

Середина дуги между этими нулями:

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{4\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\pi}{3}$$

$$y=\cos\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)=\cos 0=1$$

Следовательно, график функции $$y=\cos\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$ получается из графика $$y=\cos x$$ сдвигом влево на $$\frac{\pi}{3}$$ и растяжением по оси $$Ox$$ в 2 раза.

Ответ

а) График $$y=3\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$ — синусоида с амплитудой $$3$$, сдвинутая влево на $$\frac{\pi}{2}$$.
б) График $$y=\cos\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$ — косинусоида, сдвинутая влево на $$\frac{\pi}{3}$$ и растянутая по оси $$Ox$$ в 2 раза.