Упр.13.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Постройте и прочитайте график функции $$y=f(x)$$:
   а) $$f(x)=\begin{cases}\cos 2x, & x\leq\pi,\\ -\frac{1}{2}, & x>\pi;\end{cases}$$
   б) $$f(x)=\begin{cases}-\sin 3x, & x<0,\\ \sqrt{x}, & x\geq0.\end{cases}$$

а) Рассмотрим функцию

$$f(x)= \begin{cases} \cos 2x, & x\le \pi,\\ -\dfrac12, & x>\pi. \end{cases}$$

При $$x\le \pi$$ строим график функции $$y=\cos 2x$$. В точке $$x=\pi$$ получаем

$$f(\pi)=\cos 2\pi=1.$$

При $$x>\pi$$ график — горизонтальная прямая $$y=-\dfrac12$$, причём точка $$\left(\pi,-\dfrac12\right)$$ не входит в график, а точка $$\left(\pi,1\right)$$ входит.

Следовательно, график состоит из участка косинусоиды при $$x\le \pi$$ и луча прямой $$y=-\dfrac12$$ при $$x>\pi$$.

Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

Множество значений: $$E(f)=[-1;1].$$

Функция ограничена сверху и снизу, не является ни чётной, ни нечётной, не периодическая. На промежутке $$(-\infty;\pi]$$ она повторяет свойства функции $$y=\cos 2x$$, а при $$x>\pi$$ постоянна.

б) Рассмотрим функцию

$$f(x)= \begin{cases} -\sin 3x, & x<0,\\ \sqrt{x}, & x\ge 0. \end{cases}$$

При $$x<0$$ строим график функции $$y=-\sin 3x$$, а при $$x\ge 0$$ — график функции $$y=\sqrt{x}$$.

В точке $$x=0$$:

$$f(0)=\sqrt{0}=0.$$

Значит, графики соединяются в начале координат.

Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

Множество значений: $$E(f)=[-1;+\infty).$$

Функция не является ни чётной, ни нечётной, не периодическая, ограничена снизу: $$y_{\min}=-1.$$

Ответ:

а) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=[-1;1].$$
б) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=[-1;+\infty).$$