Упр.12.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Докажите тождество:
а) $$\sin^2(x — 8\pi) = 1 — \cos^2(16\pi — x)$$;
б) $$\cos^2(4\pi + x) = 1 — \sin^2(22\pi — x)$$.

а) Используем периодичность тригонометрических функций:

$$\sin^2(x-8\pi)=\sin^2(x-4\cdot 2\pi)=\sin^2 x,$$
$$\cos^2(16\pi-x)=\cos^2(8\cdot 2\pi-x)=\cos^2(-x)=\cos^2 x.$$

Тогда

$$1-\cos^2(16\pi-x)=1-\cos^2 x=\sin^2 x=\sin^2(x-8\pi).$$

Тождество доказано.

б) Аналогично:

$$\cos^2(4\pi+x)=\cos^2(2\cdot 2\pi+x)=\cos^2 x,$$
$$\sin^2(22\pi-x)=\sin^2(11\cdot 2\pi-x)=\sin^2(-x)=\sin^2 x.$$

Следовательно,

$$1-\sin^2(22\pi-x)=1-\sin^2 x=\cos^2 x=\cos^2(4\pi+x).$$

Тождество доказано.