Упр.12.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Постройте график периодической функции $$y=f(x)$$ с периодом $$T=4$$, если известно, что $$f(x)=\frac{x^2}{2}$$ на отрезке $$[-2;2]$$.
Так как период функции равен $$T=4,$$ достаточно построить график на отрезке $$[-2;2],$$ а затем повторить его сдвигом на $$4$$ единицы вправо и влево.
На отрезке $$[-2;2]$$ задана функция
$$f(x)=\frac{x^2}{2}.$$
Это парабола с вершиной в точке $$\left(0;0\right).$$ Для построения удобно отметить несколько точек:
| $$x$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $$y=\frac{x^2}{2}$$ | $$2$$ | $$\frac12$$ | $$0$$ | $$\frac12$$ | $$2$$ |
Соединив эти точки плавной линией, получаем участок параболы на $$[-2;2].$$
Далее этот участок повторяем периодически: график на отрезке $$[2;6]$$ получается сдвигом вправо на $$4,$$ а на отрезке $$[-6;-2]$$ — сдвигом влево на $$4.$$
Таким образом, весь график состоит из одинаковых дуг параболы с вершинами в точках $$\left(4k;0\right)$$ и максимумами в точках $$\left(4k\pm 2;2\right),$$ где $$k\in\mathbb{Z}.$$
Ответ: график функции получается периодическим повторением участка $$y=\frac{x^2}{2}$$ на $$[-2;2]$$ с периодом $$4.$$
