Упр.11.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Постройте и прочитайте график функции $$y=f(x)$$:

а) $$f(x)=\begin{cases}x+1, & \text{если } x<0,\\ \cos x, & \text{если } x\geq 0;\end{cases}$$

б) $$f(x)=\begin{cases}\cos x, & \text{если } x\leq \frac{\pi}{2},\\ \sin x, & \text{если } x>\frac{\pi}{2}.\end{cases}$$

а) При $$x<0$$ имеем прямую $$y=x+1$$, а при $$x\ge 0$$ — график функции $$y=\cos x$$.

В точке склейки:

$$y(0)=\cos 0=1.$$

Для прямой $$y=x+1$$ удобно взять несколько точек:

График состоит из луча прямой $$y=x+1$$ при $$x<0$$ и полуграфика косинуса при $$x\ge 0$$. В точке $$x=0$$ значение равно $$1$$, поэтому точка $$\bigl(0;1\bigr)$$ принадлежит графику.

Свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(f)=(-\infty;1]$$;
• возрастает на $$(-\infty;0)\cup[\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n]$$, $$n\ge 0$$;
• убывает на $$[2\pi n;\,\pi+2\pi n]$$, $$n\ge 0$$;
• $$f(x)>0$$ на $$(-1;\,\tfrac{\pi}{2})\cup(\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n;\,\tfrac{5\pi}{2}+2\pi n)$$;
• $$f(x)<0$$ на $$(-\infty;-1)\cup(\tfrac{\pi}{2}+2\pi n;\,\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n)$$;
• ограничена сверху, $$y_{\max}=1$$;
• ни чётная, ни нечётная;
• не является периодической;
• непрерывна на $$(-\infty;+\infty)$$.

б) При $$x\le \tfrac{\pi}{2}$$ имеем $$y=\cos x$$, при $$x>\tfrac{\pi}{2}$$ — $$y=\sin x$$.

В точке разбиения:

$$\cos \frac{\pi}{2}=0,\qquad \sin \frac{\pi}{2}=1.$$

Значит, в точке $$x=\tfrac{\pi}{2}$$ на графике есть закрашенная точка $$\bigl(\tfrac{\pi}{2};0\bigr)$$ для ветви косинуса и выколотая точка $$\bigl(\tfrac{\pi}{2};1\bigr)$$ для ветви синуса.

Свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(f)=[-1;1]$$;
• возрастает на $$[-\pi-2\pi n;\,-2\pi n]\cup[\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n;\,\tfrac{5\pi}{2}+2\pi n]$$, $$n\ge 0$$;
• убывает на $$[-2\pi-2\pi n;\,-\pi-2\pi n]\cup[0;\tfrac{\pi}{2}]\cup[\tfrac{\pi}{2}+2\pi n;\,\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n]$$, $$n\ge 0$$;
• $$f(x)>0$$ на $$(-\tfrac{\pi}{2}-2\pi n;\,\tfrac{\pi}{2}-2\pi n)\cup(\tfrac{\pi}{2};\pi)\cup(2\pi+2\pi n;\,3\pi+2\pi n)$$;
• $$f(x)<0$$ на $$(-\tfrac{3\pi}{2}-2\pi n;\,-\tfrac{\pi}{2}-2\pi n)\cup(\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n)$$;
• ограничена снизу и сверху;
• $$y_{\min}=-1,\quad y_{\max}=1$$;
• ни чётная, ни нечётная;
• не является периодической;
• непрерывна на $$(-\infty;\tfrac{\pi}{2})\cup(\tfrac{\pi}{2};+\infty)$$.

в) При $$x<0$$ имеем $$y=-\dfrac{2}{x}$$, при $$x\ge 0$$ — $$y=-\cos x$$.

В точке $$x=0$$:

$$y(0)=-\cos 0=-1.$$

Для ветви гиперболы можно взять точки:

Свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(f)=[-1;+\infty)$$;
• возрастает на $$(-\infty;0)\cup[2\pi n;\,\pi+2\pi n]$$, $$n\ge 0$$;
• убывает на $$[\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n]$$, $$n\ge 0$$;
• $$f(x)>0$$ на $$(-\infty;0)\cup(\tfrac{\pi}{2}+2\pi n;\,\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n)$$;
• $$f(x)<0$$ на $$\bigl(0;\tfrac{\pi}{2}\bigr)\cup(\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n;\,\tfrac{5\pi}{2}+2\pi n)$$;
• ограничена снизу, $$y_{\min}=-1$$;
• ни чётная, ни нечётная;
• не является периодической;
• непрерывна на $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.

г) При $$x<0$$ имеем $$y=-\cos x$$, при $$x\ge 0$$ — $$y=2x^2-1$$.

В точке $$x=0$$:

$$y(0)=-\cos 0=-1.$$

Для параболы удобно взять точки:

Свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(f)=[-1;+\infty)$$;
• возрастает на $$(-\infty;0)\cup[0;+\infty)$$, то есть на всей области определения, кроме точки склейки;
• убывает на $$(-\pi+2\pi n;\,2\pi n)$$, $$n\ge 0$$;
• $$f(x)>0$$ на $$(-\tfrac{3\pi}{2}-2\pi n;\,-\tfrac{\pi}{2}-2\pi n)\cup(\tfrac{1}{\sqrt{2}};+\infty)$$;
• $$f(x)<0$$ на $$(-\tfrac{5\pi}{2}-2\pi n;\,-\tfrac{3\pi}{2}-2\pi n)\cup(-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{1}{\sqrt{2}})$$;
• ограничена снизу, $$y_{\min}=-1$$;
• ни чётная, ни нечётная;
• не является периодической;
• непрерывна на $$(-\infty;+\infty)$$.

Ответ: графики строятся по указанным частям функций; их основные свойства приведены выше.