Упр.11.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=\cos x$$:
а) на отрезке $$\left[\frac{\pi}{6};\frac{2\pi}{3}\right]$$;
б) на интервале $$\left(-\pi;\frac{\pi}{4}\right)$$;
в) на луче $$\left[-\frac{\pi}{3};+\infty\right)$$;
г) на полуинтервале $$\left[-\frac{\pi}{3};\frac{3\pi}{2}\right)$$.

Функция $$y=\cos x$$ на промежутке $$[0;\pi]$$ убывает, а на промежутке $$[-\pi;0]$$ возрастает. Используем это и значения косинуса в характерных точках.

а)

На отрезке $$\left[\frac{\pi}{6};\frac{2\pi}{3}\right]$$ функция убывает, значит:

$$y_{\max}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$

$$y_{\min}=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}.$$

б)

На интервале $$\left(-\pi;\frac{\pi}{4}\right)$$ функция возрастает на $$(-\pi;0]$$ и убывает на $$[0;\frac{\pi}{4})$$. Наибольшее значение достигается в точке $$x=0$$:

$$y_{\max}=\cos 0=1.$$

Наименьшее значение не достигается, так как точка $$x=-\pi$$ не входит в интервал, а при $$x\to -\pi+0$$ имеем $$\cos x\to -1$$.

в)

На луче $$\left[-\frac{\pi}{3};+\infty\right)$$ содержится полный период функции $$y=\cos x$$, поэтому она принимает все значения от $$-1$$ до $$1$$:

$$y_{\min}=-1,\qquad y_{\max}=1.$$

г)

На полуинтервале $$\left[-\frac{\pi}{3};\frac{3\pi}{2}\right)$$ также содержится полный период функции $$y=\cos x$$, значит:

$$y_{\min}=-1,\qquad y_{\max}=1.$$

Ответ: а) $$y_{\min}=-\frac{1}{2},\ y_{\max}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$; б) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=1$$; в) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=1$$; г) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=1$$.