Упр.11.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что функция $$y=f(x)$$ является нечётной, если:

а) $$f(x)=\sin x\cdot\cos x$$;

б) $$f(x)=x^5\cdot\cos 3x$$;

в) $$f(x)=\frac{\cos x^3}{x(25-x^2)}$$;

г) $$f(x)=x^{11}\cdot\cos x+\sin x$$.

а) $$f(-x)=\sin(-x)\cdot \cos(-x)=-\sin x\cdot \cos x=-f(x).$$

Следовательно, функция $$y=f(x)$$ нечётная.

б) $$f(-x)=(-x)^5\cdot \cos(3(-x))=-x^5\cdot \cos 3x=-f(x).$$

Следовательно, функция $$y=f(x)$$ нечётная.

в) Область определения симметрична относительно нуля, так как $$x(25-x^2)\ne 0,$$ то есть $$x\ne -5,\; x\ne 0,\; x\ne 5.$$

Тогда

$$f(-x)=\frac{\cos(-x)^3}{-x\bigl(25-(-x)^2\bigr)}=\frac{\cos x^3}{-x(25-x^2)}=-\frac{\cos x^3}{x(25-x^2)}=-f(x).$$

Следовательно, функция $$y=f(x)$$ нечётная.

г) $$f(-x)=(-x)^{11}\cdot \cos(-x)+\sin(-x)=-x^{11}\cdot \cos x-\sin x=-\bigl(x^{11}\cdot \cos x+\sin x\bigr)=-f(x).$$

Следовательно, функция $$y=f(x)$$ нечётная.