Упр.11.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что функция $$y=f(x)$$ является чётной, если:
   а) $$f(x)=x^2\cos x$$;
   б) $$f(x)=\frac{\cos x^3}{4-x^2}$$;
   в) $$f(x)=\frac{\cos 5x+1}{|x|}$$;
   г) $$f(x)=(4+\cos x)(\sin^6 x-1)$$.

Проверим, что для всех данных функций выполняется равенство $$f(-x)=f(x).$$

1. $$f(x)=x^2\cos x.$$

   Тогда

   $$f(-x)=(-x)^2\cos(-x)=x^2\cos x=f(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

2. $$f(x)=\frac{\cos x^3}{4-x^2}.$$

   Область определения: $$4-x^2\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pm 2.$$ Она симметрична относительно нуля.

   Проверим чётность:

   $$f(-x)=\frac{\cos(-x)^3}{4-(-x)^2}=\frac{\cos(-x^3)}{4-x^2}=\frac{\cos x^3}{4-x^2}=f(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

3. $$f(x)=\frac{\cos 5x+1}{|x|}.$$

   Область определения: $$x\ne 0,$$ она симметрична относительно нуля.

   Проверим:

   $$f(-x)=\frac{\cos 5(-x)+1}{|-x|}=\frac{\cos 5x+1}{|x|}=f(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

4. $$f(x)=(4+\cos x)(\sin^6 x-1).$$

   Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$

   Проверим:

   $$f(-x)=(4+\cos(-x))(\sin^6(-x)-1)=(4+\cos x)((-\sin x)^6-1)=(4+\cos x)(\sin^6 x-1)=f(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

Ответ: все четыре функции чётные.