Упр.11.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

а) $$\cos x \geqslant 1+|x|$$; б) $$2\cos x \leqslant 2+x^4$$.

а) $$\cos x \ge 1+|x|$$

Так как $$-1 \le \cos x \le 1,$$ а $$1+|x| \ge 1,$$ то правая часть неравенства не меньше 1.

Чтобы неравенство было верным, нужно, чтобы одновременно выполнялось:

$$\cos x = 1 \quad \text{и} \quad 1+|x|=1.$$

Из $$1+|x|=1$$ получаем $$|x|=0,$$ значит, $$x=0.$$

Проверка: $$\cos 0=1,$$ и $$1+|0|=1,$$ следовательно, неравенство выполняется.

б) $$2\cos x \le 2+x^4$$

Так как $$-1 \le \cos x \le 1,$$ то

$$-2 \le 2\cos x \le 2.$$

Кроме того, $$x^4 \ge 0,$$ значит,

$$2+x^4 \ge 2.$$

Следовательно, левая часть неравенства не превосходит $$2,$$ а правая часть не меньше $$2,$$ поэтому неравенство верно при любом $$x.$$

Ответ: а) $$x=0$$; б) $$x \in (-\infty;+\infty).$$