Упр.11.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Сколько решений имеет система уравнений:
   а) $$\begin{cases} y=\cos x,\\ y=-x^2+2x-3; \end{cases}$$
   б) $$\begin{cases} y=\cos x,\\ y=\frac{2}{x}; \end{cases}$$
   в) $$\begin{cases} y=\cos x,\\ y=x^2-3; \end{cases}$$
   г) $$\begin{cases} y=\cos x,\\ |x|-y=0. \end{cases}$$

Рассмотрим пересечение графиков функций в каждой системе.

1. $$y=\cos x$$

   $$y=-x^2+2x-3$$

   Парабола $$y=-x^2+2x-3$$ ветвями вниз, её вершина:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1,$$

   $$y_0=-1^2+2\cdot1-3=-2.$$

   Значит, наибольшее значение параболы равно $$-2$$, а для функции $$y=\cos x$$ выполняется $$-1\le \cos x\le 1.$$

   Графики не пересекаются, так как $$-2<-1.$$ Следовательно, решений нет.

2. $$y=\cos x$$

   $$y=\frac{2}{x}$$

   Функция $$y=\cos x$$ принимает значения из промежутка $$[-1;1]$$, а гипербола $$y=\frac{2}{x}$$ пересекает этот промежуток и имеет с синусоидой бесконечно много общих точек.

   Следовательно, система имеет бесконечно много решений.

3. $$y=\cos x$$

   $$y=x^2-3$$

   Парабола $$y=x^2-3$$ имеет вершину в точке $$\left(0,-3\right)$$ и пересекает ось $$Ox$$ в точках $$x=\pm\sqrt{3}.$$

   Графики синусоиды и параболы пересекаются в двух точках, значит система имеет 2 решения.

4. $$y=\cos x$$

   $$|x|-y=0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; y=|x|$$

   График функции $$y=|x|$$ — V-образная ломаная с вершиной в начале координат. Он пересекает график $$y=\cos x$$ в двух точках.

   Следовательно, система имеет 2 решения.

Ответ: а) нет решений; б) бесконечно много решений; в) 2 решения; г) 2 решения.