Упр.10.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+0{,}5$$ на промежутке: а) $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$; б) $$\left(\frac{3\pi}{4};\frac{9\pi}{4}\right)$$; в) $$[0;\pi)$$; г) $$\left[\frac{\pi}{4};+\infty\right)$$.

Подробный ответ

Пусть $$t=x-\frac{\pi}{4}.$$ Тогда $$y=\sin t+0{,}5.$$

а)

При $$x\in\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$ получаем $$t\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right].$$ На этом промежутке функция $$\sin t$$ возрастает, значит, минимум и максимум достигаются на концах отрезка:

$$y_{\min}=\sin 0+0{,}5=0{,}5,$$
$$y_{\max}=\sin \frac{\pi}{2}+0{,}5=1{,}5.$$

б)

При $$x\in\left(\frac{3\pi}{4};\frac{9\pi}{4}\right)$$ имеем $$t\in\left(\frac{\pi}{2};2\pi\right).$$

На этом промежутке $$\sin t$$ принимает значение $$-1$$ при $$t=\frac{3\pi}{2}$$, а значение $$1$$ при $$t=\frac{\pi}{2}$$ не достигается, так как левая граница не входит в промежуток.

$$y_{\min}=-1+0{,}5=-0{,}5,$$
$$y_{\max}\text{ не существует}.$$

в)

При $$x\in[0;\pi)$$ получаем $$t\in\left[-\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$y(0)=\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)+0{,}5=-\frac{\sqrt2}{2}+0{,}5=\frac{1-\sqrt2}{2},$$
$$y\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+0{,}5=1{,}5.$$

Следовательно,

$$y_{\min}=\frac{1-\sqrt2}{2},\qquad y_{\max}=1{,}5.$$

г)

На промежутке $$\left[\frac{\pi}{4};+\infty\right)$$ аргумент $$t$$ пробегает все значения от $$0$$ до бесконечности, поэтому функция $$\sin t$$ принимает все значения от $$-1$$ до $$1$$.

Значит,

$$y_{\min}=-1+0{,}5=-0{,}5,$$
$$y_{\max}=1+0{,}5=1{,}5.$$