Упр.10.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=\sin x$$:
а) на отрезке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{2\pi}{3}\right]$$;
б) на луче $$\left[\frac{\pi}{4};+\infty\right)$$;
в) на интервале $$\left(-\frac{3\pi}{2};\frac{3\pi}{4}\right)$$;
г) на полуинтервале $$\left(-\pi;\frac{\pi}{3}\right]$$.
а) На отрезке $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{2\pi}{3}\right]$$ функция $$y=\sin x$$ возрастает на $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}\right]$$. Поэтому
$$y_{\max}=\sin\frac{\pi}{2}=1,$$
а на концах отрезка
$$\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Следовательно,
$$y_{\min}=\frac{\sqrt2}{2}.$$
б) На луче $$\left[\frac{\pi}{4};+\infty\right)$$ функция $$y=\sin x$$ принимает все значения от $$-1$$ до $$1$$, так как на этом промежутке содержится полный период функции.
Значит,
$$y_{\min}=-1,\qquad y_{\max}=1.$$
в) На интервале $$\left(-\frac{3\pi}{2};\frac{3\pi}{4}\right)$$ также содержится полный период функции $$y=\sin x$$, поэтому
$$-1\le \sin x \le 1.$$
Следовательно,
$$y_{\min}=-1,\qquad y_{\max}=1.$$
г) На полуинтервале $$\left(-\pi;\frac{\pi}{3}\right]$$ функция $$y=\sin x$$ убывает на $$\left(-\pi;-\frac{\pi}{2}\right]$$ и возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{3}\right]$$. Поэтому
$$y_{\min}=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,$$
а наибольшее значение достигается в правом конце полуинтервала:
$$y_{\max}=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=\frac{\sqrt2}{2},\ y_{\max}=1$$; б) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=1$$; в) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=1$$; г) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=\frac{\sqrt3}{2}$$.
