Упр.10.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right),&-\frac{3\pi}{2}\leq x<0,\\x+1,&0а) Вычислите: $$f(0),\ f(6),\ f(-\pi-2)$$;
   б) постройте график функции $$y=f(x)$$;
   в) прочитайте график функции $$y=f(x)$$.

а) Найдём значения функции:

$$f(0)=\sin\left(0+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1,$$

$$f(6)=-\sqrt{6-2}+3=-\sqrt{4}+3=1,$$

$$f(-\pi-2)\text{ не существует, так как }-\pi-2<-\frac{3\pi}{2}\text{ и это значение не входит в область определения.}$$

Ход решения

б) Построим график по частям.

1) На отрезке $$-\frac{3\pi}{2}\le x\le 0$$ график задаётся функцией

$$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right).$$

Для построения удобно отметить точки:

$$\left(-\frac{3\pi}{2},0\right),\quad (-\pi,-1),\quad \left(-\frac{\pi}{2},0\right),\quad (0,1).$$

2) На промежутке $$0<x<2$$ график — прямая

$$y=x+1,$$

проходящая через точки $$(0,1)$$ и $$(2,3).$$

3) При $$x\ge 2$$ график задаётся функцией

$$y=-\sqrt{x-2}+3.$$

Это ветвь корневой функции с началом в точке $$(2,3).$$ Для построения можно взять точки:

$$(2,3),\ (3,2),\ (6,1).$$

в) По графику получаем свойства функции:

• $$D(f)=\left[-\frac{3\pi}{2};+\infty\right);$$
• $$E(f)=(-\infty;3];$$
• возрастает на $$[-\pi;2];$$
• убывает на $$\left[-\frac{3\pi}{2};-\pi\right]\cup[2;+\infty);$$
• $$f(x)>0$$ на $$\left(-\frac{\pi}{2};11\right);$$
• $$f(x)<0$$ на $$\left(-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}\right)\cup(11;+\infty);$$
• функция ограничена сверху, $$y_{\max}=f(2)=3;$$
• функция не является ни чётной, ни нечётной;
• функция не является периодической;
• функция непрерывна на $$\left[-\frac{3\pi}{2};+\infty\right).$$

Ответ

$$f(0)=1,\quad f(6)=1,\quad f(-\pi-2)\text{ не существует.}$$