Упр.10.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}-x^2, & x<0,\\ \sin x, & 0\leq x\leq\pi,\\ -(x-\pi)^2, & x>\pi.\end{cases}$$
   а) Вычислите: $$f(-3),\ f\left(\frac{\pi}{2}\right),\ f(2\pi-3);$$
   б) постройте график функции $$y=f(x);$$
   в) прочитайте график функции $$y=f(x).$$

$$f(x)=\begin{cases} -x^2, & x<0,\\ \sin x, & 0\le x\le \pi,\\ -(x-\pi)^2, & x>\pi. \end{cases}$$

Ход решения

а) Найдём значения функции:

$$f(-3)=-(-3)^2=-9;$$

$$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1;$$

$$f(2\pi-3)=-\bigl((2\pi-3)-\pi\bigr)^2=-(\pi-3)^2.$$

б) Построим график по частям.

1) При $$x<0$$ график задаётся параболой $$y=-x^2$$ с вершиной в точке $$\left(0;0\right)$$.

2) На отрезке $$0\le x\le \pi$$ график — это участок синусоиды $$y=\sin x$$, проходящий через точки $$\left(0;0\right)$$, $$\left(\frac{\pi}{2};1\right)$$, $$\left(\pi;0\right)$$.

3) При $$x>\pi$$ график задаётся параболой $$y=-(x-\pi)^2$$ с вершиной в точке $$\left(\pi;0\right)$$.

в) По графику получаем свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty);$$
• $$E(f)=(-\infty;1];$$
• возрастает на $$(-\infty;\frac{\pi}{2}];$$
• убывает на $$[\frac{\pi}{2};+\infty);$$
• $$f(x)>0$$ на $$\left(0;\pi\right);$$
• $$f(x)<0$$ на $$(-\infty;0)\cup(\pi;+\infty);$$
• функция ограничена сверху;
• наибольшее значение: $$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1;$$
• функция ни чётная, ни нечётная;
• не является периодической;
• непрерывна на $$(-\infty;+\infty).$$

Ответ

$$f(-3)=-9,\quad f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\quad f(2\pi-3)=-(\pi-3)^2.$$