Упр.10.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$y=f(x),$$ где
   $$f(x)=\begin{cases} 2x+2\pi, & x\leq-\pi,\\ \sin x, & -\pi0. \end{cases}$$
   
   а) Вычислите: $$f(-\pi-2),\ f\left(-\frac{\pi}{6}\right),\ f(2);$$
   
   б) постройте график функции $$y=f(x);$$
   
   в) прочитайте график функции $$y=f(x).$$

$$f(x)= \begin{cases} 2x+2\pi, & x\le -\pi,\\ \sin x, & -\pi<x\le 0,\\ -2x, & x>0. \end{cases}$$

Ход решения

а) Найдём значения функции:

$$f(-\pi-2)=2(-\pi-2)+2\pi=-4;$$

$$f\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12;$$

$$f(2)=-2\cdot 2=-4.$$

б) Построим график по частям:

• при $$x\le -\pi$$ — прямая $$y=2x+2\pi$$;
• при $$-\pi<x\le 0$$ — участок графика синуса $$y=\sin x$$;
• при $$x>0$$ — прямая $$y=-2x$$.

Для построения удобно отметить несколько точек:

$$(-\pi,0),\quad \left(-\frac{\pi}{2},-1\right),\quad (0,0),\quad (1,-2).$$

в) По графику получаем свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty),\quad E(f)=(-\infty;0];$$
• возрастает на $$(-\infty;-\pi]\cup\left[-\frac{\pi}{2};0\right];$$
• убывает на $$[-\pi;-\frac{\pi}{2}]\cup[0;+\infty);$$
• $$f(x)<0$$ на $$(-\infty;-\pi)\cup(-\pi;0)\cup(0;+\infty);$$
• наибольшее значение: $$f_{\max}=0,$$ оно достигается при $$x=-\pi$$ и $$x=0;$$
• функция ни чётная, ни нечётная;
• не является периодической;
• непрерывна на $$(-\infty;+\infty).$$

Ответ

$$f(-\pi-2)=-4,\quad f\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12,\quad f(2)=-4.$$