Упр.10.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x}, & x<0,\\ \sin x, & 0\le x\le \pi.\end{cases}$$
   а) Вычислите: $$f(-2),\ f(0),\ f(1);$$
   б) постройте график функции $$y=f(x);$$
   в) прочитайте график функции $$y=f(x)$$.

$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x}, & x<0,\\ \sin x, & 0\le x\le \pi.\end{cases}$$

Ход решения

а) Найдём значения функции:

$$f(-2)=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2},$$

$$f(0)=\sin 0=0,$$

$$f(1)=\sin 1.$$

б) Построим график функции.

При $$x<0$$ график задаётся гиперболой $$y=\dfrac{1}{x}$$ — берём только левую ветвь.

При $$0\le x\le \pi$$ график задаётся синусоидой $$y=\sin x$$ на отрезке $$[0;\pi]$$. Для построения достаточно отметить точки:

$$\left(0,0\right),\ \left(\dfrac{\pi}{2},1\right),\ \left(\pi,0\right).$$

Итоговый график состоит из двух частей: левой ветви гиперболы при $$x<0$$ и дуги синусоиды на $$[0;\pi]$$.

в) По графику получаем:

• область определения: $$D(f)=(-\infty;\pi]$$;
• множество значений: $$E(f)=(-\infty;1]$$;
• функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и на $$\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$$;
• функция возрастает на $$\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$$;
• $$f(x)>0$$ на $$\left(0;\pi\right)$$;
• $$f(x)<0$$ на $$(-\infty;0)$$;
• функция ограничена сверху, наибольшее значение равно $$1$$ при $$x=\dfrac{\pi}{2}$$;
• функция не является ни чётной, ни нечётной;
• функция не периодическая;
• непрерывна на $$(-\infty;0)\cup(0;\pi]$$, в точке $$x=0$$ имеет разрыв.

Ответ

$$f(-2)=-\dfrac{1}{2},\quad f(0)=0,\quad f(1)=\sin 1.$$